|
Първа публикация: 17-08-2009 Последна редакция: 23-01-2010 КАКВА Е ПРЕДСТАВАТА НИ ЗА "МАТЕМАТИЧЕСКА ТОЧКА"?
Илия КОЖУХАРОВ Една латинска сентенция повелява: “ Ne sutor supra crepidam!” (“Обущарят да не съди по-горе от обущата!”).По този повод Плиний Стари разказва в своя трактат "Естествена история" следната случка за художника Апелес: “Той имал навика да излага завършените си работи в открита беседка и, криейки се зад картините, да изслушва забележките на минувачите, тъй като смятал, че народът е по-внимателен съдия, отколкото е самият той. Веднъж, разказват, някакъв зрител, по професия обущар, отбелязал, че единият сандал е нарисуван от вътрешната си страна с една връзка по-малко, отколкото трябва. На следващия ден същият обущар, виждайки, че посоченият от него пропуск е поправен, в пристъп на горделивост започнал да изказва критични забележки и за изображението на крака. Тогава разгневеният художник изскочил иззад картината и възкликнал: ‘Обущарят да не съди по-високо от обущата’” [Владимир Атанасов (съставителство и превод), “Опитът е лъжлив, преценката – трудна / Латински сентенции и поговорки”, София, 2003, с.112].Започвам с горните думи, защото отчитам идентичната опасност. Доколкото не съм професионален математик – а ще се осмеля да третирам математически въпроси – то волю или неволю мога да се окажа в положението на въпросния обущар. (А той, както е споменато, е започнал повторния си коментар "в пристъп на горделивост". Ерго, и нещо подобно може да ми се припише, с което рискът нараства неимоверно.) Освен това, да се поставя въпрос от рода на този, който стои в заглавието на настоящата студия – и то след като в продължение на хилядолетия човечеството използва понятието "математическа точка" – това не изглежда по-малко рисковано. (В добавка – и самонадеяно.) От друга страна, една легенда, също идваща от античността, посочва, че над вратата на Платоновата академия стояло изписано следното изречение: “Тоз праг да не прекрачва онзи, който не е овладял геометрията .”А знайно е, че в обсега на пространните дискусии от времето на Сократ, Платон или Аристотел далеч не са попадали само геометрични въпроси. В такъв случай, защо на знанията по геометрия се е отреждало такова предопределящо място? Защо геометрията дори е била обозначавана като "quinta essentia", "петата същност" (след четирите антични "елемента" – земя, въздух, огън и вода)? Дали това не е бил някакъв акт на моментно емоционално преклонение пред теоретичните чудеса, които тя е разкривала? Или просто се е считало, че всеки образован човек трябва да мине през нейната школовка, която за старите гърци е била доминиращият символ на математиката и с възможността си да култивира дисциплина в мисленето се е оказвала в положението на незаменим педагогически инструмент? Или нещата около нея са били приемани по някакъв още по-дълбоко съдържателен начин, щото дори върховната и най-висша сила в някои по-късно възникнали религии да бъде изобразявана като геометър? Така или иначе, преди да пристъпя към първото изречение по същество, отправям молба за едно предварително засвидетелствано снизхождение, доколкото възнамерявам да отправя поглед към места, стоящи "по-високо от обущата". С или без дефиниция? След като публикувах размислите си, озаглавени като "Относно (не)възможността на дефинициите" – при все и засега само в тяхната І част – всяко насочване на мисълта към дефиниционната проблематика може да се изтълкува просто като най-обикновена демонстрация на влечение към някаква любима тема. В същото време, дори и един бегъл поглед към справочната и учебна литература по математика би показал, че текущата картина около дефиницията на точка е далеч извън нечии лични пристрастия. Евклид предлага дефиниция за точка. Всъщност, така започва неговото знаменито съчинение "Елементи": “Точка е онова, което няма части” [Евклид, “Елементи”, том І, София, 1972, с.11]. В някои случаи обаче, съвременната математическа мисъл отстоява противоположната позиция, по силата на която понятието "математическа точка" (в качеството си на фундаментално) не трябва – а и не може – да се дефинира. Кой е правият в случая? Разумно е да се допусне, че едно днешно становище, което би следвало да е абсорбирало в себе си всичко, родено през вековете, е по-правилното. Например, в "Детская энциклопедия" (чието име по никакъв начин не би трябвало да подвежда никого), в раздела "За различните геометрии" (том 1) под формата на пространен отговор на въпроса: "С какво започва изложението на геометрията", се казва: “ Да отворим учебника по геометрия и да разгледаме определението на което и да било геометрично понятие, например трапец. Опитвайки се да го разберем напълно, ние веднага ще установим, че трябва предварително да знаем определението за успоредност на правите линии и определението за четириъгълник, а за това трябва да знаем определението за отсечка. Последното изисква знание за това, какво са права и точка.Точно така и всяко друго определение в края на краищата ни води до тези начални понятия: до правата и точката или до правата, точката и равнината – основните геометрични понятия. И ние сме в правото да се надяваме, че ще намерим съответните определения върху първите страници на учебника. Но, уви, очаква ни разочарование. Оказва се, че и върху първите страници на учебника няма точни математически определения за точка, права и равнина. В същото време всички определения, опиращи се на тези основни геометрични понятия, са формулирани с пълна математическа строгост. На пръв поглед такова положение може да се стори твърде странно” [“Детская энциклопедия”, том І, Москва, 1959, с.107]. Тук големият въпрос изглежда така: “А на втори поглед?” Безспорно, "втори поглед" съществува. Съществуват даже много "втори погледи" и те подсказват (примерно) по отношение на математическата точка, че: • във веществения свят не се срещат (или поне не знаем да се срещат) точки, идентични с тези, за които говори Евклид; • можем (NB!) да се опитваме да си съставим представа за геометрична точка, като си мислим за някаква (NB!) малка сферичка или малко кръгче, чиито диаметри да намаляваме хиляди, милиони или колкото ни е угодно повече пъти, но в крайна сметка (NB!) онова, до което ще достигнем, ще бъде обект с някакви размери, различни от 0 (нула); • коментираното понятие за “точка” представлява опит за абстракция, която можем да си мислим, че постигаме в съзнанието си след дълго наблюдение на (NB!) твърде малки обекти (тук по традиция отново се посочват споменатите вече “сферички” или “кръгчета”), които обаче продължават да носят със себе си следите на веществено-материалните си характеристики така, както представата за дърво продължава да носи в себе си съставните представи за корени, ствол, клони и листа, които всяко едно конкретно (не-абстрактно) дърво има; • изискваната абстракция (оказва се!) трябва да изхвърли практически всички компоненти, които правят от точката “нещо” (по отношение на което винаги би съществувала възможност да се мисли за някакви негови леви или десни, предни или задни, горни или долни, външни или вътрешни и така нататък части – а това би противоречало на Евклидовите повеления); и всичко това, за да може на нейно място да се окаже едно “нищо” (NB!); • “нищото” от предходната констатация трябва (все пак!) да е от такова естество, че да бъде обезпечено с възможност да му се приписват координатни характеристики (NB!). Картината, която постепенно се оформя, колчем човек започне да се задълбочава в настоящия въпрос, започва да наподобява пародията, с която Хемингуей се отнася към един популярен текст в своя разказ "Там, където е чисто и светло": “Отче нищо, който си в нищото, да се свети нищото твое, да дойде нищото твое, да бъде нищото твое, както в нищото, така и на нищото” [Ърнест Хемингуей, “Избрани разкази”, София, 1973, с.275]. Впрочем, в противовес на цитираното по-горе становище – относно отсъствието на възможност за определение и на права, и на равнина – в някои случаи в справочната литература може да бъде прочетено следното: “Права: основен елемент в геометрията, който се определя еднозначно с две различни точки” [В.Келер, Х.Кестнер, З.Нойбер, “Математически енциклопедичен речник”, София, 1983, с.412]. И в същото време, във въпросното издание не се открива нищо дефинитивно относно точка. Могат да се прочетат статии за: "точка на неопределеност", "точка на прекъсване", "точка на разклоняване", "точка на сгъстяване"... Но просто за "точка", за най-обикновена "геометрична точка", тримата автори мълчат. Случаен пропуск? Или не?
В други случаи справочната литература предлага само най-общи фрази по отношение на математическото понятие за точка: "едно от основните понятия в геометрията", "изходно понятие при системното излагане на геометрията", "[понятие], включващо елементи с твърде различна природа" и прочее. (Вж. във връзка с това: "Большая советская энциклопедия", т.26, Москва, 1977, с.26, но и много по-късните издания: "Математический энциклопедический словарь", Москва, 1995, с.585 и "Большой российский энциклопедический словарь", 2003, Москва, с.1588.) Както може лесно да се забележи, те не внасят някаква яснота и едва ли могат да помогнат в един опит за уточняване на представата за точка. Именитият руски учен, професор Дмитрий Дмитриевич Мордухай-Болтовской (1876-1952), е не само преводач от старогръцки на Евклидовите "Елементи", но и автор на пространни, изпълнени с възхитителен педантизъм, коментари към тях. (Само за сравнение, те са в такъв обем, в какъвто са и собствените геометрични размишления на Евклид.) Коментирайки предложената от Евклид дефиниция за точка, Мордухай-Болтовской посочва следното:
“Съществуват няколко дефиниции за точка (...) – преди всичко отрицателни, против които много методици се обявяват решително. Такава е Евклидовата дефиниция; в нея се използва неделимостта на точката, така че точка и актуално безкрайно малко – неделимо в смисъла на Кеплер и Кавалиери – се дефинират съвършено еднакво, двете понятия се сливат. Разбира се, Евклидовата дефиниция на точка най-малко е подхождала на идеите на времето, когато се е практикувал методът на неделимите. Значително по-добре е подхождала на тези идеи дефиницията на Херон – точка е това, което няма величина (според нашата терминология (...) – протежение). Но Хероновата дефиниция, както и други отрицателни дефиниции, греши с това, че под нея попадат и много други неща, които нямат нищо общо с точка. В средните векове се е подчертавало, че точката е място без протежение (...). Като положителна дефиниция на точка обикновено се изтъква онази, която се използва от съвременния учебник, който ни кара да си представяме точката съгласно Дефиниция ІІІ на Евклид (която за Евклид по същество е аксиома) като граница на линия . От методична гледна точка тя е по-добра.(...) Райхенбергер изброява различни дефиниции на точка: 1) точката няма измерения; 2) няма нито дължина, нито широчина, нито дълбочина; 3) е [нещо] единно и неделимо, най-малкото различимо. В чисто схоластична посока се движи Патриций (...), който се опитва да построи основите на геометрията: за него точка е не само това, което няма части, но и онова, което е неделимо (...). По-нататък точката не е количество, тя не може да бъде по-голяма или по-малка (...) Точката не е сравнима. Тя не е измерима. Тя не заема никакво пространство. Към тези свойства той прибавя още редица други, при това винаги отрицателни” [Д.Д.Мордухай-Болтовской, “Коментари”, към: Евклид, “Елементи”, том І, София, 1972, с.187]. Няколко коментара към посочените коментари. Първо. Ако разсъжденията от последния пространен цитат са се сторили някому трудни за прочит и разбиране, то си струва да бъде припомнен краткият диалог между Евклид и Птолемей І, който – според свидетелството на Прокъл (ок.410-485) – се е случил така: “Веднъж Птолемей попитал Евклид дали няма по-къс път към геометрията освен онзи, който минавал през ‘Елементи’-те, на което Евклид отговорил, че не съществуват царски пътища към геометрията” [“Encyclopaedia Britannica”, http://www.britannica.com/EBchecked/topic/194880/Euclid]. А фактът, че тази случка мигрира като легенда и се разказва по адрес и на други именити личности от античността, няма голямо значение от съдържателна гледна точка. Второ. Следва да не се забравя, че, когато Мордухай-Болтовской говори за "съвременния учебник" по математика, той в най-добрия случай има предвид педагогическата литература от първата половина на ХХ век. Трето. Показателен е фактът, че Евклид използва като термин, с който да обозначи понятието точка, думата "σημείον" ("семьон"), чийто латински еквивалент е "signum" ("знак", "признак", "белег"). А тук, изпреварвайки малко събитията, следва да подчертая, че знакът, признакът или белегът обичайно се отнасят към неща. (А не към "нИща" – ако ми е позволено да предложа този тромав опит за множествено число от "нищо".) Най-малкото, възниква въпросът: по какъв знак, признак или белег би могло да се разграничи едно нищо от друго нищо? (Ако действително става въпрос за "нИща".) Четвърто. В споменатата ІІІ дефиниция на Евклид, в която се казва, че "краищата на линия са точки", би следвало да се знае, че вместо за "линия" по-скоро става дума за "отсечка". Пето. Дори и бегло да се премине през цитирания коментар на Мордухай-Болтовской, става ясно, че проблемът около определянето на математическата представа за точка е тревожил умовете на поколения мислители. Защо ли? Може би, защото така или иначе има "нещо гнило" – би отговорил Шекспировият принц, Хамлет Датски.
Вероятно, поради факта, че колосалният многотомен "Оксфордски речник на английския език" е структуриран въз основа на идеята за историческата динамика в смисъла на всяка езикова единица, то в пространните и изключително разнообразни свидетелства за употребата на думата "точка" се визират представи и от рода на: “нещо, което има определена позиция, без протяжност; местоположение в пространството, времето, последователността в някакво редуване, степенуването, подредбата и прочее” [“The Oxford English Dictionary”, Oxford, London, Glasgow, vol.VII, 1978, p.1048], след което се отделя специално място и на разбирането за геометрична точка, по силата на което тя е: “онова, което е схващано като имащо позиция, но без големина (като край на линия или пресечка на две линии” [пак там], последвано от конкретни текстови примери от средновековието до към ХІХ век. Коментирайки Евклидовите дефиниции, аксиоми и "общи представи" (и в частност, тези за точка, линия и права линия), експертите на Енциклопедия Британика са счели за необходимо да посочат изрично: “Ясно е, че сега те не могат да бъдат взети като дефиниции в съвременния смисъл, отпращайки ни, както правят, назад към представа, която е не само недефинирана, но и объркана. (...) Би следвало да бъде отбелязано, че ‘права линия’ в съвременната геометрия означава безкрайна линия, докато за Евклид тя означава част, заключена между две точки, сега наричана ‘отсечка’, която може да бъде ‘продължавана’ в двете посоки” [“Encyclopaedia Britannica / Macropaedia / Knowledge in depth”, vol.19, p.888].А специалистите от "Математическая энциклопедия" (като са счели за приемливо да не публикуват никаква дефиниция за точка, но и като не са поставили нито някакъв знак за своя отказ, нито покана към читателя "да се справя, както може сам") са отбелязали в статията за "Линия" следното: “ геометрично понятие, точното и в същото време достатъчно общо определение за което представлява значителна трудност и се осъществява в различните клонове на геометрията по различен начин” [“Математическая энциклопедия”, т.5, Москва, 1985, кол.382-383].И още: “ В рамките на елементарната геометрия понятието за линия не получава отчетлива формулировка и понякога се определя като ‘дължина без ширина’ или като ‘граница на равнина’. По същество изучаването на линията в елементарната геометрия се свежда до разглеждането на примери (права, отсечка, начупена крива линия, окръжност и други). Без да разполага с общи методи, елементарната геометрия е проникнала достатъчно дълбоко в изучаването на свойствата на конкретните линии (конични сечения, някои алгебрически линии от висш порядък и трансценденталните линии), използвайки във всеки случай специални прийоми.В аналитичната геометрия линията в равнината се определя като множество от точки, координатите на които удовлетворяват уравнението F (x, y) = 0. При това, на функцията F би трябвало да се наложат ограничения така, че, от една страна, това уравнение да има безкрайно множество решения и, от друга страна, това множество от решения да не запълва ‘къс от равнината’” [пак там, кол.383]. Нека тук (при все и мимоходом) бъдат отбелязани следните положения: 1. Не са предложени договорени изисквания относно разбирането за точка, но тя се включва в разсъжденията за геометрични елементи, които я съдържат (!?). 2. Признава се, че в "елементарната геометрия понятието за линия не получава отчетлива формулировка" и заедно с това се признава, че понякога линията се определя посредством геометричен елемент, който я съдържа – "равнината" (!?). В подобна ситуация, най-малкото възниква въпросът: кое понятие е по-първично – линията или равнината; и кое от двете трябва да служи като основа за определяне на другото? 3. Ако в "различните клонове на математиката" представата за линия се определя по "различен начин", то – всъщност – налице ли е единна представа за линия? А за точка? Етимология вместо дефиниция? Някои учени, занимаващи се с произхода на математическите термини, предлагат следното съображение относно геометричния смисъл на "точка": “ Думата произхожда от глагола ‘ткнуть’ – ‘бодвам’, и означава резултат от мигновено докосване, бодване. Същия смисъл има и латинското ‘punctum’, от което са произлезли и ‘Punkt’, и ‘point’ в западноевропейските езици и думата ‘пункт’. Тези думи произлизат от латинския глагол ‘pungo’ – ‘убождам’. Сега това тълкуване е общоприето” [Надежда Александрова, “Математически термини”, София, 1984, с.131].Колкото и да е фино обаче едно "мигновено докосване" или "бодване", повече от ясно е, че неговият резултат би имал и дължина, и ширина, а защо не и някаква деликатна дълбочина. В този смисъл, ако това би следвало да е пътят, по който да достигнем до представата за някакъв безразмерен основен елемент в теоретичната постройка на геометрията, то на нас отново би ни се наложило да осъществяваме прехода от "нещо" към "нищо". А той далеч не е така безобиден, че да се осъществи (и обозначи) с често споменаваната процедура "абстракция". Не помагат по принцип и размислите на други математици върху проблема, доколкото само насочват мисълта към нова етимологична линия, без от това принципно да се променя постановката на нещата: “ Лобачевски (...) твърдял, че ‘точката’ произхожда от докосването на подострено перо, така че ‘точка’ означава острието на пачето перо, с което са писали по времето на Лобачевски, и следователно е образувана от глагола ‘точить’ – ‘остря’, ‘точа’” [пак там].Изобщо, всеки опит да се мисли, че преходът от "нещо" към "нищо" може да се осъществи чрез поетапно намаляване на "нещото" с цел превръщането му в "нищото", е само някакво стартиране със сетивно обусловени представи, последвано от тяхното фриволно изоставяне – нещо което трудно се родее с логиката. Всъщност, проблемите са няколко. Но сега ще се спра на един от тях, който може да се определи като централен. От посочените дотук примери (а те могат да бъдат многократно повече) се разбира недвусмислено, че в основанията на класическата геометрия има неясни и противоречиви положения. Дори и те да бъдат заместени от признания за недефинируемост на някакъв кръг базисни понятия, то (най-малкото) споменът за факта, че на протежение на векове все същите понятия са били спокойно разпространявани с някакъв прикачван им реквизит, след което са били вграждани в последващи изводи, не може да не остави известна утайка на съмнение. Проблемът, който изглежда централен за връзката между математическите термини точка, линия, равнина, а защо не и тяло, е свързан с питането: Как след като (с или без дефиниция) се изисква точката да се възприема като конструктивен елемент без каквато и да било протяжност, то нейното неограничено натрупване по някакъв предопределен начин може да формира линия, на която е присъща дължина?
На практика, съзнавано или несъзнавано, повечето хора си представят формираната от точки математическа линия по начина, който е демонстриран с графиката отляво. Че това е една абсурдна представа – може лесно да се забележи. (Разбира се, "забелязването" първо трябва да бъде пожелано.) От друга страна, какво може да си представя онзи, който е подтикван да мисли за математическата точка като за някаква безкрайно малка сферичка или евентуално също толкова безкрайно малко кръгче – това от една страна, а от друга – за линията като геометрично място на точки? Всъщност, най-напред вероятно би следвало да се направи анализ на израза безкрайно малко. Колкото и той да изглежда понятен (може би, поради честата употреба, която създава съответната заблудна "представа"), неговото съдържание се свежда до мисълта за някакъв процес, при който един или друг обект може да постига все по-малки и по-малки величини спрямо някаква предварително зададена граница. Както вече споменах обаче, "все по-малко и по-малко" в никакъв случай не означава "нищо", не означава 0 ("нула"). Ерго, не изглежда възможно смисълът на понятието математическа точка да се получи чрез въпросната процедура, доколкото независимо от броя стъпки в нейното осъществяване тя би следвало постоянно да превръща "нещо" в "по-малко нещо". (Но не и в "нищо"!) В същото време, с не по-малка убедителност се забелязва, че, ако математическата линия би трябвало да се получи от математически точки под формата на някакви "малки неща" (сферички или кръгчета), то тя действително би изглеждала по начина, представен на графиката. А зад подобна представа за линия надали би застанал дори и един човек на земята. Освен това, мисълта, че някакви можещи да стават все по-малки и по-малки обекти се допират един до друг (в своя порив да образуват линия), би извикал необходимостта да си представяме, че те се допират взаимно с по една своя точка. И тук вече би следвало да се сблъскаме с абсурд: точка, която би следвало да няма никакви части, се допира до друга такава точка само с една СВОЯ ТОЧКА, която – по необходимост – представлява нейна съставна част (!?). На това място следва да се отбележи и друг – не по-малко – абсурден момент. Ако се приеме, че математическата точка е нещо, което всъщност е нищо (нещо с нулева размерност, с нулева протяжност във всяко едно пространствено направление), то по каква причина би следвало да се мисли, че натрупването на безкрайно много точки в едно направление, ЩЕ ПОРОДИ ПРОТЯЖНОСТ в него, поради което ще могат да се извършват и измервания на дължини (все по него)? Със сигурност не би било пресилено да се каже, че един огромен клас проблеми в науката, и в частност – в математиката, са свързани с употребата на понятието "безкрайност". Безусловно, дори самото споменаване на тази дума предизвиква лавина от въпроси. В някои далеч не чести случаи те се превръщат в поводи за искрени самопризнания. Доцент Сергей Катречко (Московски държавен университет "Ломоносов", Философски факултет): “Надсловът на конференцията ‘Безкрайността в логиката, философията и историята на математиката’ ме постави неочаквано в безизходно положение, доколкото осъзнах, че не разбирам самия термин ‘безкрайност’. Това чувство се засили след мисълта на Хао Ван, че ‘физическите явления не са подходящи за изучаване и обосноваване на математиката, същността на която се явява безкрайността’, доколкото този термин е видимо свързан в самата си сърцевина с причината за математическата (или логическата? – С.К.) дейност” [Сергей Катречко, “Безкрайността и теорията за търсене на извода”, в: http://www.philosophy.ru/library/ksl/katr_010.html]. Идеята, за фундаменталната обвързаност на математиката с безкрайността има своята достатъчно дълга история. Един пример – Херман Вейл: “Представата за итерацията (еднотипни повторения при осъществяването на някаква процедура – бел. моя, И.К.) – при реда на естествените числа – образува самата основа на математическото мислене; ‘безкрайността’ на математическия проблем обаче се основава на това, че безкрайният ред на естествените числа формира крайния фундамент на математиката” [Херман Вейл, “ Континуум”, в: Херман Вейл, “Математическое мышление”, Москва, 1989, с.127].И още (особено важно!): “ Нашите умозаключения трябва да се основават на свидетелства на относително ясния и прост процес, посредством който се пораждат естествените числа”,а това се оказва осъществимо, защото “интуицията относно възможността ‘винаги да се постигне увеличение с единица’ – чрез явна пресмятаща безкрайност – лежи в основата на математиката” [“Математический способ мышления”, пак там, с.13]. В същото време обаче, позволеното (и – както би могло да се стори на непрофесионалиста – безпроблемно) използване на безкрайността в едни или други математически операции създава далеч не рядко измамното усещане у всеки стоящ встрани от тази наука човек, че безкрайността съществува реално. На практика, това, че понятието безкрайност е основен работен инструмент за математиката, съвсем не означава, че по такъв начин са представени "доказателства", примерно, за някаква действителна безкрайност на Всемира. (Нещо, което се мисли от мнозина.) Абстрактното понятие безкрайност се интерпретира в математиката по два начина – като "актуална безкрайност" и като "потенциална безкрайност". При това, изключително важно е отново да се подчертае, че именно изразът актуална безкрайност може да подейства изключително подвеждащо. Освен това в математическите среди далеч не цари някакво пълно единодушие относно правомерността по неговата употреба. Така или иначе, абстракцията актуална безкрайност се е появила във връзка с идеята резултатът от осъществяването на неограничен брой стъпки в някакъв математически процес да може да се приема за завършен, независимо от възможността въпросният процес да няма мислим край. Формирането на редицата от естествени числа, започваща от нула и продължаваща чрез последователно прибавяне на единица, обикновено служи като най-често предлаган пример. Разбираемо е, че процедурата по формирането на все по-нови и нови числа може да продължава (поне мислено) безкрайно. В този смисъл, колкото и да изглежда нелогично, абстракцията актуална безкрайност идва като своеобразно искане да се получи право за употребата на израза "множество на всички естествени числа" така, сякаш – независимо от принципната незавършеност на процеса по тяхното генериране – те (като множество) са нещо действително съществуващо и готово за разглеждане. Лесно може да се разбере, че все същият пример за формиране на редицата от естествените числа, ако не се мисли като завършена колекция на множеството на всички естествени числа, всъщност следва да се третира като проява на потенциална безкрайност. В същото време, ние можем да игнорираме всички препятствия (пространствени, времеви или материални), които биха ни попречили да изработваме все нови и нови естествени числа, задоволявайки се с предположението, че предполагаемо можем да осъществим, която и да било поредна стъпка от един подобен конструктивен процес.
Разбираемо, и едната, и другата математическа безкрайност,
всъщност, се явяват единствено идеални конструкти на нашето съзнание. Във връзка
с тях в математическата система от
символи е въведен и знакът за безкрайност, често използван с двете си форми: +
“При
преминаването от прилагателното
‘безкрайно’,
означаващо просто ‘без край’, към съществителното ‘безкрайност’ не трябва
да се предполага, че ‘безкрайността’, която обикновено се изразява със
специалния символ
Част от резултата на един такъв точен анализ на "безкрайното" в определен клас задачи изглежда така:
“Системата
на действителните числа се допълва с два несобствени елемента: +
–
за всяко крайно
‘а’
(...). За
+
(+
(–
(+
(+
(+
(–
(–
(+
Горните
правила носят възможно най-важната информация за най-елементарните операции
с математическата безкрайност. И наистина, добре е да не се забравя, че
каквито и конкретни числа да бъдат прибавяни към
+
(+?) + (–?) = ?
И все пак, във връзка с третирания
тук въпрос за математическата точка, специален интерес могат да предизвикват
твърденията за аналогично отсъствие на смисъл при опитите
+
Наистина, не е изключено да се
появи някаква интуитивна представа, по силата на която да се очаква, че
умножението, примерно, на
Какви разсъждения биха могли да подхранват подобна идея? Нека първо бъде разгледана следната таблица:
Лесно може да се забележи, че увеличенията в
стойностите за N водят до реципрочни намаления
в стойностите за 1/N, при което
във всеки отделен случай произведенията между тях ще бъдат винаги равни на
1. А доколкото лявата колона може да се разглежда като съдържаща числова
редица, клоняща в своята прогресия към
+
Математиците обаче са категорични:
всяко умножение на
+
Вероятно трудно би се оспорила необходимостта да се отдаде
дължимото уважение на експертното математическо мнение относно безсмислието
на всяко едно умножение на
+
Всеки опит да се постигне едномерността на математическата линия като резултат от наслагването една до друга на безкрайно многото съставляващи я точки, всяка с нейната нулева размерност, е лишено от смисъл. В такъв случай (за пореден път) възниква въпросът: Откъде произлиза едномерността на линията в геометрията, кое я поражда? А той влече след себе си идентичния въпрос: Откъде произлиза двумерността на равнината, при положение, че правите линии, които я изграждат, са едномерни елементи? И така нататък. Опит за поглед към историята Според една приписвана на Конфуций мисъл, “ мъдростта се ражда от внимателното наблюдение над това, как растат хората”.А системното "наблюдение над растежа", постоянното припомняне на въпросите, които хората задават (докато растат), припомнянето на хрумванията: откъде да тръгнат и докъде да стигнат, върху какво да стъпят и какво да загърбят, кое да запомнят и кое да забравят, кое да приемат и кое да отхвърлят – всичко това дава ориентири за същината на нашето знание. Отново Херман Вейл: “Процесът на познание започва, така да се каже, от средата и по-нататък се развива не само по възходяща, но и по низходяща линия, губейки се в неизвестността. Нашата задача се изразява в това да се постараем да пробием път в двете направления през мъглата на неизвестното, въпреки че в края на краищата представата за това, че грамадният слон на науката, носещ върху себе си истината, стои на някакъв абсолютен фундамент, до който човек може да се добере, се явява нещо не по-различно от легенда” [Игорь Яглом, “Предисловие” – в: Морис Клайн, “Математика / Утрата определëнности”, Москва, 1984, с.6]. Когато се коментира същината на математиката, често се изтъква, че тя е христоматиен пример за абстрактна дедуктивна наука, построена върху основни допускания, приемани за истинни без доказателства, и развита нататък чрез стриктни непротиворечиви процедури за последващи изводи. От друга страна, никой не поставя под съмнение, че в своите първи исторически стъпки математическите знания не са били нещо по-различно от знанията в която и да било друга практико-приложна област. Изчислението на едни или други земни площи или пресмятането на всевъзможни суми или разлики при осъществяваните търговски сделки – всичко това е изисквало наличието на някакъв инструментариум, не много отличаващ се от чука на ковача или триона на дърводелеца. В отдалечените назад хилядолетия (когато не се е мислело, че някой ден човечеството ще разполага с понятие за "наука"), никой не се е замислял дали разполага с логически издържана дефиниция за линия или число, а просто се е задоволявал с някоя драсната черта върху земята и с един или друг изписан знак върху папируса.
Ако е трябвало да се изясни в какви граници се разпростира нечия земя и откъде нататък започва чуждата, то е било достатъчно да се прекара някаква реална или мислима разграничителна линия, да се постави разделяща ограда, да се изкопае ров или да се издигне зид – и всичко това, без да се спори по въпроса, колко е широка линията, оградата или зидът. Но... понякога се налагало някои зидове да бъдат много дебели. И дори дебелината им да не била като тази на Великата китайска стена, все пак възниквал въпросът: чия е земята под тях? А знайно е, че щом нещата опират до собственост, тогава сработват най-мощните човешки рефлекси и се постигат възможно най-прецизни резултати. Ако се случело съседната земя да е ничия, въпросът се уреждал лесно – зидът се построявал върху нея. Ако обаче двете граничещи собствености се допирали една до друга, се налагало да се търси компромисно решение. Както всеки би могъл да се досети, възможностите не били много: или зидът се разполага върху земята А, или се разполага върху земята В, или ширината му се разпределя върху А и В. (Естествено, при първите два случая зидът ставал собственост било на единия, било на другия земевладелец, докато в последния те си я поделяли в едни или други съотношения, в това число и поравно.) Разбира се, по който и от трите начина да се постъпело – било поради несъвършенството на измерителните инструменти, било поради успешни опити съседът да бъде излъган – зидът (или негови части) "навлизал" нерегламентирано тук или там в чуждата територия. Но това не било считано за някакъв голям проблем, защото всякакви подобни грешки (или грехове) се оценявали било априорно, било апостериорно, като незначителни спрямо площите на заградената собственост. Разделителната линия можела спокойно да се счита за линия с нулева дебелина, защото дори и някой ден да хрумнело някому да разделя със съседа си камъните и хоросана от зида, лесно можело да се стигне до решение, при което да остане и една песъчинка неразпределена между двамата земевладелци. Подобна ситуация може лесно да си представи дори и едно дете. Ето защо не съществуват проблеми постепенно да се закрепи виждането, че мислената разграничителна линия в случая няма дебелина. (И не трябва да има дебелина.) Онова, което не принадлежи на земята А, принадлежи на земята В. И обратно. И няма нищо, оставащо по средата. Ако случайно историята около появата за понятието линия се е случила по някакъв подобен начин, то би могла да се издигне хипотезата, че формирането на представи за основните геометрични елементи не е тръгнало от точката, а именно от линията. И оттам нататък (в съответствие с мисълта на Вейл) е потеглило в двете посоки: от една страна – към представата за повърхнина, а от друга – към представата за точка.Но... тук може да се възрази. Може да се посочи, че колкото е възможно в основата на началните геометрични прозрения да е стояла първичната представа за линия (като граница между две съседни площи), толкова е естествено да се приеме, че в основата на все същите начални размишления е стояла не по-малко първичната представа за повърхнина (като граница между две съседни тела). В края на краищата, не би могло лесно да се реши дали практическите занимания на нашите далечни прадеди са били доминирани от някакви дейности с повърхнини или с тела.
В допълнение, ако представата за математическа линия, формирана въз основа на предхождащата покана за представа за математическа точка, създава определени притеснения, то идентични проблеми биха могли да съпътстват и опитите да се изработи представа за математическа повърхнина (и в частност – равнина) въз основа на подобна идея за линия (и в частност – права линия). Графиката отляво показва как би следвало да изглежда виждането ни за равнина, ако приемем искания образ на геометричната права линия. Категорично наложително уточнение. Изказвайки всички мисли дотук, не мога да не си давам сметка за един принципен упрек към мен, който може да се изговори по следния начин: недопустимо е да се афишират твърдения, с които се внушава, че се предлага идея за линия (изобщо – и за права, в частност), постигната от допирането на някакви миниатюрни кръгчета или сферички, както не по-малко недопустими са и внушенията за някакви повърхнини (изобщо – и за равнини, в частност), получени от допирането една до друга на някакви линии, след като са заявени следните основни изисквания: 1. за нулева размерност на точката, и 2. за отсъствието на каквато и да било дебелина на линията. Не може да не се признае, че подобен упрек има много сериозно основание. В същото време, и от изтъкнати експерти в математиката (вероятно неволно) се оставят свидетелства, които показват, че (примерно) геометричните линии се мислят именно като материални "пръчки", по необходимост притежаващи "дебелина". Ето пример, взет от едно от предлаганите определения за равнина: “ двумерно точково множество в пространството, което се получава например при въртене на права g около нейна точка А по такъв начин, че правата g се хлъзга по друга права h, неминаваща през А” [В.Келер, Х.Кестнер, З.Нойбер, “Математически енциклопедичен речник”, София, 1983, с.460].
Изразът "се хлъзга" предполага представа от типа на показаната чрез графиката отляво, при която вторият, третият и четвъртият молив (броени отдолу нагоре) са в положение на лансираната възможност да "се хлъзгат" върху непосредствено по-ниско стоящия (молив). В същото време, изглежда твърде непривично да си мислим, че една "безплътна" права би успяла по някакъв начин да се "хлъзга" по друга идентична "безплътност". Нали, за да има "хлъзгане", трябва да съществува "нещо", което да се докосва до друго "нещо"? Най-малкото, защо не е бил потърсен някакъв друг езиков израз, който да насочва към мисълта, че един "нулеворазмерен по отношение на дебелината си лъч" се движи в "нулеворазмерния коловоз" на свой побратим? Така или иначе, отново се налага да се пита: възможна ли е такава процедура, при която от много “нИща” (дебелините на правите) да се достигне до “нещо”? Безусловно, може да се възрази, че в случая става въпрос за абстракция, че някои физически характеристики трябва да се пренебрегнат. Но... каквато и да е същината на абстракцията, нали и при конкретните обстоятелства би се наложило да си представяме, че разполагаме една до друга "безкраен" брой нули, които в своето "безкрайно" множество раждат още едно измерение – необходимото второ измерение на равнината? Трябва ли да човек да бъде предварително форматиран в духа на някаква религиозна мистика, за да може да възприеме безпроблемно трансформирането на "нищо" в "нещо"? Началната свобода При построяването на една аксиоматична теория съществува сериозна доза свобода относно избора на начални понятия, както и на начални твърдения (респективно, предложения за възможни операции), отнасящи се до тях. Изискванията, които (все пак!) трябва да се спазват, се свеждат до необходимостта въпросните основни положения да обладават качествата съвместимост, пълнота и независимост. Изискването за съвместимост е най-лесно разбираемо, доколкото повелява коментираните основни положения да не влизат помежду си в противоречия, както и да не позволяват върху тяхна основа да се извеждат взаимно противоречащи си твърдения. Изискването за пълнота се дефинира като необходимост комплексът от базисни твърдения да е самодостатъчен, за да бъдат изведени от него (и единствено от него – пряко или опосредствано) всички следващи твърдения. А изискването за независимост се свежда до разбирането, че не би следвало да е възможно което и да било от все същите базисни твърдения да се оказва изводимо от някое друго (или други) измежду тях. Далеч не винаги тези условия се оказват лесно изпълними. И далеч не винаги евентуалните грешки по тяхното неспазване се забелязват от пръв поглед. Понякога са необходими столетия или дори хилядолетия, за да бъде диагностицирано някое опущение от дефинитивно-аксиоматично-постулативно естество. Едно съпътстващо мнение относно конкретна изначална свобода: “ Аксиоматизацията на теорията на вероятностите може да се проведе по различни начини както по отношение на избора на аксиомите, така и по избора на основните обекти и основните съотношения. Ако целта е и системата от аксиоми, и построената по-нататък теория да бъдат по възможност прости, то най-целесъобразно е да се аксиоматизират понятията случайно събитие и неговата вероятност. Има и други системи за аксиоматизиране на теорията на вероятностите, а именно такива, при които понятието вероятност не е от основните понятия, а се изразява чрез други понятия (...). В тези случаи обаче стремежът е друг, а именно възможно най-тясно сближаване на математическата теория с емпиричното възникване на понятието вероятност” [Бернули, Лаплас, Колмогоров, “Вероятности”, София, 1982, с.161-162].Акцент: "най-тясното сближаване с емпиричното възникване на понятието"! И още едно мнение: “ Аксиоматичното гледище може да бъде охарактеризирано в общи черти по следния начин: да се докаже една теорема в дадена дедуктивна система означава да се установи, че теоремата е необходимо следствие от известни положения, доказани преди нея; последните на свой ред също трябва да бъдат доказани и т.н. По този начин процесът на математическото доказателство би се свел до невъзможната задача за безкрайно връщане назад, освен ако на някой етап се допуска спиране. Следователно, необходими са известен брой твърдения, наречени постулати или аксиоми, които се вземат за верни и за които не се изискват доказателства” [Ричард Курант и Хърбърт Робинс, “Що е математика?”, София, 1985, с.218].Втори акцент: "вземат за верни" не означава "верни", както и "не се изискват доказателства" не означава "не се нуждаят от доказателства". Просто коментираните фрази представляват конкретно проявление на границите, от които започва нашето човешко безсилие. Надолу следват предложения от дефиниционно-аксиоматично-постулативно естество. Повторно използваният израз ("дефиниционно-аксиоматично-постулативно" естество) е твърде тромав. В същото време е добре да се знае, че за времето “ преди Евклид не е имало рязко разграничаване на дефинициите от аксиомите. Тъй като цялата наука в Аристотелов смисъл се е свеждала към издирване на дефиниции, то и общите основни положения, т.е. аксиомите, също е трябвало първоначално да се появяват като дефиниции” [Д.Д.Мордухай-Болтовской, “Коментари”, към: Евклид, “Елементи”, том І, София, 1972, с.202].В добавка, коментираното смесване е продължило и след времето на Аристотел. А често се е отнасяло и до смесването между аксиоми и постулати. Да не говорим, че далеч не е трудно съдържанието на една дефиниция да се представи във формата на аксиома и обратно. Ето защо (и без сега да се отделя повече внимание на различията между дефиниции, аксиоми и постулати) може да се говори за "фундаментални твърдения", стига в чисто съдържателен план те да отговарят на изискването да бъдат основа на всичко онова, което ще бъде надстроено върху тях. Предварителни уточнения. С начина си на изказ изредените по-долу фундаментални твърдения внушават пределна категоричност. Това може да се окаже подвеждащо. Всъщност, за всяко от тях следва да се мисли, че е предхождано от фрази като: "Предлага се да се мисли, че..." или "Допуска се, че...". Освен това, с цел постигането на една по-голяма яснота, са добавени съответни коментари. В някои случаи те могат да се сторят твърде обстоятелствени. В същото време, сред тях се съдържат твърдения, които напълно естествено могат да се превърнат в цели на теоремни доказателства или обекти на специални дефиниции. Съществува и напълно реална възможност някое фундаментално твърдение да се окаже изводимо от останалите. Накрая, като цяло, на фрагмента, който следва непосредствено, би следвало да се гледа по-скоро като на някаква чернова, която би могла да се дописва.
Всеки, който е достигнал дотук, следва да се чувства поканен да изложи критичните си бележки по настоящия текст. Те ще бъдат публикувани в тяхната пълнота. Нека отново повторя, че изказаните по-горе мисли са продиктувани единствено от усещането за едно или друго неудовлетворително положение около механизмите за формиране на представи относно някои основни геометрични понятия, както и от традиционно постиганите незадоволителни резултати в тази част от обучението по геометрия – всичко това, в аспекта на едно тяхно масово измерение. Колкото до последното, тук бих могъл да прибавя като доказателство, примерно, пространни диалози между млади хора в интернет-форуми по повод вижданията им за "точка", "линия" и прочее. От друга страна, колкото и благородни да са едни подбуди от рода на тези, които ме водеха при написването на настоящия текст, резултатът може да е катастрофално неудачен. А това би могло да се дължи и на най-елементарното мое пренебрегване на споделената в началото латинска препоръка по адрес на обущаря. Ето защо, ако има изгледи написаното да носи вреда, тя трябва веднага да бъде извадена на показ. С това всъщност повтарям поканата си към всеки, който има какво да сподели в критичен план.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
